Упр.39.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график непрерывной на (-оо; +оо) функции У = f(x), обладающей следующими свойствами: a) lim f(x) = 0; f(x) > 0 на (-оо, 0); E(f) = [-5; 5], функция убывает на [2; 7]; б) lim f(x) = 5, lim f(x) = 0, E(f) = [-3; 5), f(x) < 0 на (0; +oo), функция возрастает на [3; +oo) и убывает на [0; 3].

Подробный ответ

а) Построим непрерывную функцию так, чтобы при $$x \to -\infty$$ она стремилась к $$0$$, на промежутке $$(-\infty; 0)$$ была положительной, принимала значения от $$-5$$ до $$5$$ и убывала на $$[2; 7]$$.

Подойдёт, например, такой график: слева он подходит к оси $$Ox$$ сверху, затем возрастает до максимума $$5$$, после чего убывает, проходит через ось $$Ox$$ и достигает минимума $$-5$$ на отрезке $$[2; 7]$$, а затем снова возрастает, оставаясь непрерывным.

б) Требуется, чтобы

$$ \lim_{x \to -\infty} f(x)=5,\qquad \lim_{x \to +\infty} f(x)=0, $$
$$ E(f)=[-3;5),\qquad f(x)<0 \text{ на } (0;+\infty), $$ $$ f(x) \text{ убывает на } [0;3],\qquad f(x) \text{ возрастает на } [3;+\infty). $$

Значит, график должен слева приближаться к прямой $$y=5$$, затем убывать, пересечь ось $$Ox$$ в точке $$x=0$$, достичь минимума $$-3$$ при $$x=3$$ и после этого возрастать, оставаясь ниже оси $$Ox$$ и приближаясь к нулю справа.

Такие графики изображены на рисунках 84 и 85.