Упр.38.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) yn = 2 + (-1)n 1/n б) yn = (-1)n 2 + 1/n в) yn = -3 + (-1)n 2/n; г)yn = 3(-1)(n+1) — 2/n.

Подробный ответ

а) $$y_n=2+\frac{(-1)^n}{n}$$
При $$n=1,2,3,4,5,6,7,8$$ получаем:
$$1;\ 2\frac12;\ 1\frac23;\ 2\frac14;\ 1\frac45;\ 2\frac16;\ 1\frac67;\ 2\frac18.$$
Так как $$\frac{(-1)^n}{n}\to 0$$ при $$n\to\infty$$, то
$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(2+\frac{(-1)^n}{n}\right)=2.$$
Горизонтальная асимптота: $$y=2.$$
б) $$y_n=(-1)^n\cdot 2+\frac{1}{n}$$
При $$n=1,2,3,4,5,6,7,8$$ получаем:
$$-1;\ 2\frac12;\ -1\frac23;\ 2\frac14;\ -1\frac45;\ 2\frac16;\ -1\frac67;\ 2\frac18.$$
Последовательность колеблется между двумя значениями, поэтому предела не имеет.
Горизонтальная асимптота не существует.
в) $$y_n=-3+\frac{(-1)^n\cdot 2}{n}$$
При $$n=1,2,3,4,5,6,7,8$$ получаем:
$$-5;\ -2;\ -3\frac23;\ -2\frac12;\ -3\frac25;\ -2\frac23;\ -3\frac27;\ -2\frac34.$$
Так как $$\frac{(-1)^n\cdot 2}{n}\to 0$$ при $$n\to\infty$$, то
$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(-3+\frac{(-1)^n\cdot 2}{n}\right)=-3.$$
Горизонтальная асимптота: $$y=-3.$$
г) $$y_n=3(-1)^{n+1}-\frac{2}{n}$$
При $$n=1,2,3,4,5,6,7,8$$ получаем:
$$5;\ -2;\ 3\frac23;\ -2\frac12;\ 3\frac25;\ -2\frac23;\ 3\frac27;\ -2\frac34.$$
Последовательность не имеет предела, так как её члены попеременно принимают значения, близкие к $$3$$ и $$-3$$.
Горизонтальная асимптота не существует.