Упр.38.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график последовательности (yn) и составьте, если можно, уравнение горизонтальной асимптоты графика: a) yп = 2/n; б) yn = (1/3)n; в) yn = 4/n; г) yn = (1/3)(n-1)

Подробный ответ

а) $$y_n=\frac{2}{n}$$
Найдём несколько первых членов последовательности:
$$ y_1=2,\quad y_2=1,\quad y_3=\frac{2}{3},\quad y_4=\frac{1}{2},\quad y_5=\frac{2}{5},\quad y_6=\frac{1}{3},\quad y_7=\frac{2}{7},\quad y_8=\frac{1}{4} $$
Так как
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n}=0, $$
то горизонтальная асимптота: $$y=0$$.
б) $$y_n=\left(\frac13\right)^n$$
Первые члены последовательности:
$$ y_1=\frac13,\quad y_2=\frac19,\quad y_3=\frac1{27},\quad y_4=\frac1{81},\quad y_5=\frac1{243},\quad y_6=\frac1{729},\quad y_7=\frac1{2187},\quad y_8=\frac1{6561} $$
Так как
$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac13\right)^n=0, $$
то горизонтальная асимптота: $$y=0$$.
в) $$y_n=\frac{4}{n}$$
Первые члены последовательности:
$$ y_1=4,\quad y_2=2,\quad y_3=\frac43,\quad y_4=1,\quad y_5=\frac45,\quad y_6=\frac23,\quad y_7=\frac47,\quad y_8=\frac12 $$
Так как
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{4}{n}=0, $$
то горизонтальная асимптота: $$y=0$$.
г) $$y_n=\left(\frac12\right)^{n-1}$$
Первые члены последовательности:
$$ y_1=1,\quad y_2=\frac12,\quad y_3=\frac14,\quad y_4=\frac18,\quad y_5=\frac1{16},\quad y_6=\frac1{32},\quad y_7=\frac1{64},\quad y_8=\frac1{128} $$
Так как
$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac12\right)^{n-1}=0, $$
то горизонтальная асимптота: $$y=0$$.