Упр.38.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Укажите номер n0 того члена последовательности (xn), начиная с которого все члены последовательности попадут в окрестность точки а радиуса r : a) хn = 1/2n, а = 0, r = 0,1; б) хn = 3 + 1/n2, а = 3, r = 0,2; в) хn = 1 + 2/n2, а = 1, r = 0,01; г) xn = -3/n, а = 0, r = 0,1.

1. а) $$x_n=\frac{1}{2n},\ a=0,\ r=0{,}1.$$

   Нужно, чтобы выполнялось $$|x_n-a|

   $$\frac{1}{2n}<0{,}1.$$

   Тогда

   $$1<0{,}2n,$$

   $$n>5.$$

   Наименьшее натуральное $$n_0=6.$$

2. б) $$x_n=3+\frac{1}{n^2},\ a=3,\ r=0{,}2.$$

   Требуется

   $$\left|3+\frac{1}{n^2}-3\right|<0{,}2,$$

   то есть

   $$\frac{1}{n^2}<0{,}2.$$

   Отсюда

   $$n^2>5,$$

   $$n>\sqrt{5}.$$

   Наименьшее натуральное $$n_0=3.$$

3. в) $$x_n=1+\frac{2}{n^2},\ a=1,\ r=0{,}01.$$

   Имеем

   $$\left|1+\frac{2}{n^2}-1\right|<0{,}01,$$

   то есть

   $$\frac{2}{n^2}<0{,}01.$$

   Тогда

   $$n^2>200,$$

   $$n>\sqrt{200}\approx 14{,}14.$$

   Наименьшее натуральное $$n_0=15.$$

4. г) $$x_n=-\frac{3}{n},\ a=0,\ r=0{,}1.$$

   Нужно, чтобы

   $$\left|-\frac{3}{n}-0\right|<0{,}1,$$

   то есть

   $$\frac{3}{n}<0{,}1.$$

   Отсюда

   $$3<0{,}1n,$$

   $$n>30.$$

   Наименьшее натуральное $$n_0=31.$$

Ответ

а) $$6$$; б) $$3$$; в) $$15$$; г) $$31$$.