Упр.38.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) sin х + sin2 х + sin3 х + … sinn х + … = 5; б) cos х — cos2 х + cos3 х — … + (-1)(n-1) cosn x + … = 2; в) 1 + sin2 x + sin4 x + … + (sin x)(2n-2) + … = г) 7 cos3 x + 7 cos6 x + … + 7 (cos x)3n + … = 1.

а) Рассмотрим сумму как бесконечную геометрическую прогрессию:

$$b_1=\sin x,\quad q=\sin x,$$
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\sin x}{1-\sin x}=5.$$

$$\sin x=5(1-\sin x),$$
$$\sin x=5-5\sin x,$$
$$6\sin x=5,$$
$$\sin x=\frac56.$$

$$x=(-1)^n\arcsin\frac56+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$b_1=\cos x,\quad q=-\cos x,$$
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\cos x}{1+\cos x}=2.$$

$$\cos x=2(1+\cos x),$$
$$\cos x=2+2\cos x,$$
$$\cos x=-2.$$

Такого значения косинус не принимает, значит, корней нет.

в)

$$b_1=1,\quad q=\sin^2 x,$$
$$S=\frac{1}{1-\sin^2 x}=\frac43.$$

$$\frac{1}{\cos^2 x}=\frac43,$$
$$\cos^2 x=\frac34,$$
$$\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$

$$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г)

$$b_1=7\cos^3 x,\quad q=\cos^3 x,$$
$$S=\frac{7\cos^3 x}{1-\cos^3 x}=1.$$

$$7\cos^3 x=1-\cos^3 x,$$
$$8\cos^3 x=1,$$
$$\cos^3 x=\frac18,$$
$$\cos x=\frac12.$$

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\arcsin\frac56+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) корней нет;
в) $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$