Упр.38.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Существует ли номер n0, начиная с которого все члены последовательности (xn) попадают в окрестность точки а радиуса r = 0,1, если: a) хn = 1/n2, а = 0; б) хn = 1/n2, а= 1; в) хn = n/(n + 1), а = 0; г) хn == n/(n + 1), а = 1?

Подробный ответ

а) $$x_n=\frac{1}{n^2},\ a=0,\ r=0{,}1.$$
Нужно, чтобы
$$0-0{,}1<\frac{1}{n^2}<0+0{,}1,$$
то есть
$$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{10}.$$
Тогда
$$n^2>10,\quad n>\sqrt{10}\approx 3{,}16.$$
Значит, начиная с $$n=4,$$ все члены последовательности попадают в указанную окрестность.
б) $$x_n=\frac{1}{n^2},\ a=1,\ r=0{,}1.$$
Требуется, чтобы
$$1-0{,}1<\frac{1}{n^2}<1+0{,}1,$$
то есть
$$\frac{9}{10}<\frac{1}{n^2}<\frac{11}{10}.$$
Но уже из левой части получаем
$$\frac{9}{10}<\frac{1}{n^2}\quad \Rightarrow \quad n^2<\frac{10}{9},$$
что возможно только при $$n=1.$$ Следовательно, начиная с некоторого номера все члены последовательности в окрестность точки $$1$$ не попадут.
в) $$x_n=\frac{n}{n+1},\ a=0,\ r=0{,}1.$$
Преобразуем:
$$x_n=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}.$$
Нужно, чтобы
$$0-0{,}1<1-\frac{1}{n+1}<0+0{,}1,$$
то есть
$$-\frac{1}{10}<1-\frac{1}{n+1}<\frac{1}{10}.$$
Из правой части получаем
$$1-\frac{1}{n+1}<\frac{1}{10}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{n+1}>\frac{9}{10},$$
откуда
$$n+1<\frac{10}{9}.$$
Это возможно только при малых $$n$$, значит, такого номера $$n_0$$ не существует.
г) $$x_n=\frac{n}{n+1},\ a=1,\ r=0{,}1.$$
Снова имеем
$$x_n=1-\frac{1}{n+1}.$$
Требуется, чтобы
$$1-0{,}1<1-\frac{1}{n+1}<1+0{,}1,$$
то есть
$$\frac{9}{10}<1-\frac{1}{n+1}<\frac{11}{10}.$$
Из левой части:
$$\frac{9}{10}<1-\frac{1}{n+1}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{n+1}<\frac{1}{10}.$$
Тогда
$$n+1>10,\quad n>9.$$
Значит, начиная с $$n=10,$$ все члены последовательности попадают в окрестность точки $$1.$$