Упр.38 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) 3/(x^2-2x-2) — x^2+2x=0;
б) x/(x^2-2) +6(x^2-2)/x = 7;
в) 1-15/(x^2-4x)^2 = 2/(x^2-4x);
г) (x-3)/(x^2+10x+27) = (x^2+10x+27)/(x-3)=-2.

Подробный ответ

а) Обозначим $$y=x^2-2x-2.$$ Тогда $$x^2-2x=y+2,$$ и уравнение принимает вид
$$\frac{3}{y}- (y+2)=0.$$
Умножим на $$y$$:
$$3-y(y+2)=0,$$
$$y^2+2y-3=0.$$
$$D=2^2+4\cdot 3=16,$$
$$y_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{-2+4}{2}=1.$$
1) $$x^2-2x-2=-3,$$
$$x^2-2x+1=0,$$
$$x=1.$$
2) $$x^2-2x-2=1,$$
$$x^2-2x-3=0,$$
$$x=-1,\;3.$$
б) Пусть $$y=\frac{x}{x^2-2}.$$ Тогда $$\frac{x^2-2}{x}=\frac{1}{y},$$ и уравнение перепишется так:
$$y+\frac{6}{y}=7.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-7y+6=0.$$
$$D=7^2-4\cdot 6=25,$$
$$y_1=1,\qquad y_2=6.$$
1) $$\frac{x}{x^2-2}=1,$$
$$x=x^2-2,$$
$$x^2-x-2=0,$$
$$x=-1,\;2.$$
2) $$\frac{x}{x^2-2}=6,$$
$$x=6(x^2-2),$$
$$6x^2-x-12=0,$$
$$D=1+288=289,$$
$$x=\frac{1\pm 17}{12},$$
$$x=-\frac{4}{3},\;\frac{3}{2}.$$
в) Обозначим $$y=x^2-4x.$$ Тогда уравнение имеет вид
$$1-\frac{15}{y^2}=\frac{2}{y}.$$
Умножим на $$y^2$$:
$$y^2-15=2y,$$
$$y^2-2y-15=0.$$
$$D=2^2+4\cdot 15=64,$$
$$y_1=-3,\qquad y_2=5.$$
1) $$x^2-4x=-3,$$
$$x^2-4x+3=0,$$
$$x=1,\;3.$$
2) $$x^2-4x=5,$$
$$x^2-4x-5=0,$$
$$x=-1,\;5.$$
г) Пусть
$$y=\frac{x^2+10x+27}{x-3}.$$
Тогда
$$\frac{x-3}{x^2+10x+27}+\frac{x^2+10x+27}{x-3}=-2$$
перепишется как
$$\frac{1}{y}+y=-2.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2+1=-2y,$$
$$y^2+2y+1=0,$$
$$\left(y+1\right)^2=0,$$
$$y=-1.$$
Тогда
$$\frac{x^2+10x+27}{x-3}=-1,$$
$$x^2+10x+27=-(x-3),$$
$$x^2+11x+24=0,$$
$$D=11^2-4\cdot 24=25,$$
$$x=\frac{-11\pm 5}{2},$$
$$x=-8,\;-3.$$