Упр.38.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 1/x + х + х2 + х3 + х4 + … + хn + … = 7/2; б) 2х + 1 + х2 — х3 + х4 — х5 + … = 13/6.

Подробный ответ

Во всех пунктах используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}, \quad |q|<1.$$

$$\frac{1}{x}+x+x^2+x^3+\dots=\frac{7}{2}.$$
Начиная со второго члена, это геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=x$$ и знаменателем $$q=x$$. Тогда
$$S=\frac{1}{x}+\frac{x}{1-x}=\frac{7}{2}.$$
Умножим на $$2x(1-x)$$:
$$2(1-x)+2x^2=7x(1-x),$$
$$2-2x+2x^2=7x-7x^2,$$
$$9x^2-9x+2=0.$$
$$D=(-9)^2-4\cdot 9\cdot 2=81-72=9.$$
$$x_{1,2}=\frac{9\pm 3}{18}.$$
Отсюда
$$x_1=\frac{1}{3}, \quad x_2=\frac{2}{3}.$$
$$2x+1+x^2-x^3+x^4-x^5+\dots=\frac{13}{6}.$$
Начиная с третьего члена, это геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=x^2$$ и знаменателем $$q=-x$$. Тогда
$$S=2x+1+\frac{x^2}{1+x}=\frac{13}{6}.$$
Умножим на $$6(1+x)$$:
$$6(1+x)(2x+1)+6x^2=13(1+x),$$
$$12x+6+12x^2+6x+6x^2=13+13x,$$
$$18x^2+5x-7=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 18\cdot(-7)=25+504=529.$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 23}{36}.$$
Отсюда
$$x_1=-\frac{7}{9}, \quad x_2=\frac{1}{2}.$$