Упр.38.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение, если известно, что |х| < 1: a) х + х2 + х3 + х4 + ... + хn + ... = 4; б) 2х - 4х2 + 8х3 - 16х4 + ... = 3/8.

Так как $$|x|<1,$$ данные суммы являются суммами бесконечных геометрических прогрессий.

1. $$x+x^2+x^3+x^4+\dots=4$$

   Здесь $$b_1=x,$$ $$q=x.$$ Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{x}{1-x}=4.$$

   Решим уравнение:

   $$ \frac{x}{1-x}=4 \\ x=4(1-x) \\ x=4-4x \\ 5x=4 \\ x=\frac45=0{,}8 $$

2. $$2x-4x^2+8x^3-16x^4+\dots=\frac38$$

   Это геометрическая прогрессия с $$b_1=2x$$ и знаменателем $$q=-2x.$$ Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{2x}{1+2x}=\frac38.$$

   Решим уравнение:

   $$ \frac{2x}{1+2x}=\frac38 \\ 16x=3(1+2x) \\ 16x=3+6x \\ 10x=3 \\ x=\frac3{10}=0{,}3 $$

Ответ

а) $$x=0{,}8$$; б) $$x=0{,}3$$.