Упр.38.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Упростите выражение (x не равен пи n/2): a) sin х + sin2 х + sin3 х + sin4 х + …; б) cos х — cos2 х + cos3 х — cos4 х + …; в) cos2 х + cos4 x + cos6 X + cos8 X + …; г) 1 — sin3 x + sin6 x — sin9 x + … .

Во всех пунктах получаем бесконечные геометрические прогрессии. Так как $$x \ne \frac{\pi n}{2},$$ то $$\sin x \ne \pm 1$$ и $$\cos x \ne 0,$$ значит, знаменатель прогрессии не обращается в нуль.

1. $$S=\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x+\sin^4 x+\dots$$

   Это геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=\sin x$$ и знаменателем $$q=\sin x.$$ Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\sin x}{1-\sin x}.$$

2. $$S=\cos x-\cos^2 x+\cos^3 x-\cos^4 x+\dots$$

   Это геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=\cos x$$ и знаменателем $$q=-\cos x.$$ Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\cos x}{1+\cos x}.$$

3. $$S=\cos^2 x+\cos^4 x+\cos^6 x+\cos^8 x+\dots$$

   Это геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=\cos^2 x$$ и знаменателем $$q=\cos^2 x.$$ Тогда

   $$ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\cos^2 x}{1-\cos^2 x} =\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} =\ctg^2 x. $$

4. $$S=1-\sin^3 x+\sin^6 x-\sin^9 x+\dots$$

   Это геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=1$$ и знаменателем $$q=-\sin^3 x.$$ Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{1}{1+\sin^3 x}.$$

Ответ

а) $$\frac{\sin x}{1-\sin x}$$; б) $$\frac{\cos x}{1+\cos x}$$; в) $$\ctg^2 x$$; г) $$\frac{1}{1+\sin^3 x}$$.