Упр.38.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 2 + 4 + 6 + … + 20 + 1/2 + 1/4 + 1/8 …; б) 1 + 3 + 5 + … + 99 + 2/5 — 4/25 + 8/125 — …; в) 21 + 24 + 27 + … + 51 + 1/3 — 1/9 + 1/27 — …; г) 1 + 4 + 7 + … + 100 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + … .

Подробный ответ

а) $$S=2+4+6+\dots+20+\frac12+\frac14+\frac18+\dots$$
Первая часть — арифметическая прогрессия:
$$a_1=2,\ a_n=20,\ d=2,$$
$$n=\frac{20-2}{2}+1=10,$$
$$S_{10}=\frac{2+20}{2}\cdot 10=110.$$
Вторая часть — бесконечная геометрическая прогрессия:
$$b_1=\frac12,\ q=\frac{1}{2},$$
$$S_\infty=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac12}{1-\frac12}=1.$$
$$S=110+1=111.$$
б) $$S=1+3+5+\dots+99+\frac25-\frac4{25}+\frac8{125}-\dots$$
Первая часть — арифметическая прогрессия:
$$a_1=1,\ a_n=99,\ d=2,$$
$$n=\frac{99-1}{2}+1=50,$$
$$S_{50}=\frac{1+99}{2}\cdot 50=2500.$$
Вторая часть — бесконечная геометрическая прогрессия:
$$b_1=\frac25,\ q=\frac{-4/25}{2/5}=-\frac25,$$
$$S_\infty=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac25}{1+\frac25}=\frac{\frac25}{\frac75}=\frac27.$$
$$S=2500+\frac27=2500\frac27.$$
в) $$S=21+24+27+\dots+51+\frac13-\frac19+\frac1{27}-\dots$$
Первая часть — арифметическая прогрессия:
$$a_1=21,\ a_n=51,\ d=3,$$
$$n=\frac{51-21}{3}+1=11,$$
$$S_{11}=\frac{21+51}{2}\cdot 11=396.$$
Вторая часть — бесконечная геометрическая прогрессия:
$$b_1=\frac13,\ q=\frac{-1/9}{1/3}=-\frac13,$$
$$S_\infty=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac13}{1+\frac13}=\frac{\frac13}{\frac43}=\frac14.$$
$$S=396+\frac14=396\frac14.$$
г) $$S=1+4+7+\dots+100+0{,}1+0{,}01+0{,}001+\dots$$
Первая часть — арифметическая прогрессия:
$$a_1=1,\ a_n=100,\ d=3,$$
$$n=\frac{100-1}{3}+1=34,$$
$$S_{34}=\frac{1+100}{2}\cdot 34=1717.$$
Вторая часть — бесконечная геометрическая прогрессия:
$$b_1=0{,}1,\ q=0{,}1,$$
$$S_\infty=\frac{0{,}1}{1-0{,}1}=\frac{1}{9}.$$
$$S=1717+\frac19=1717\frac19.$$