Упр.38.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) -6 + 2/3 — 2/27 + 2/243 — …; б) 3 + корень3 + 1 + 1/корень3 + …; в) 49 — 14 + 4 — 8/7 + …; г) 4 + 2корень2 + 2 + корень2 + ….

1. а) $$S=-6+\frac{2}{3}-\frac{2}{27}+\frac{2}{243}-\dots$$

   Это бесконечная геометрическая прогрессия, где $$b_1=-6$$, $$b_2=\frac{2}{3}$$.

   Знаменатель прогрессии:

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{\frac{2}{3}}{-6}=-\frac{1}{9}.$$

   Тогда сумма бесконечной геометрической прогрессии:

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-6}{1-(-\frac{1}{9})}=\frac{-6}{1+\frac{1}{9}}=\frac{-6}{\frac{10}{9}}=-\frac{54}{10}=-5{,}4.$$

2. б) $$S=3+\sqrt{3}+1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\dots$$

   Это геометрическая прогрессия, где $$b_1=3$$, $$b_2=\sqrt{3}$$.

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

   Сумма:

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}=\frac{9}{3-\sqrt{3}}.$$

3. в) $$S=49-14+4-\frac{8}{7}+\dots$$

   Это геометрическая прогрессия, где $$b_1=49$$, $$b_2=-14$$.

   Знаменатель:

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-14}{49}=-\frac{2}{7}.$$

   Тогда

   $$S=\frac{49}{1-(-\frac{2}{7})}=\frac{49}{1+\frac{2}{7}}=\frac{49}{\frac{9}{7}}=\frac{343}{9}=38\frac{1}{9}.$$

4. г) $$S=4+2\sqrt{2}+2+\sqrt{2}+\dots$$

   Это геометрическая прогрессия, где $$b_1=4$$, $$b_2=2\sqrt{2}$$.

   Знаменатель:

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Сумма:

   $$S=\frac{4}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{2-\sqrt{2}}.$$

Ответ

а) $$-5{,}4$$; б) $$\frac{9}{3-\sqrt{3}}$$; в) $$38\frac{1}{9}$$; г) $$\frac{8}{2-\sqrt{2}}$$.