Упр.38.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Составьте геометрическую прогрессию, если известно, что ее сумма равна 18, а сумма квадратов ее членов равна 162. б) Найдите сумму квадратов членов геометрической прогрессии, если известно, что ее сумма равна 2, а сумма кубов ее членов равна 8/7.

Подробный ответ

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда
$$S=\frac{b_1}{1-q}, \qquad S_2=\frac{b_1^2}{1-q^2}.$$
По условию:
$$\frac{b_1}{1-q}=18, \qquad \frac{b_1^2}{1-q^2}=162.$$
Из первого равенства
$$b_1=18(1-q).$$
Подставим во второе:
$$\frac{18^2(1-q)^2}{1-q^2}=162.$$
Так как $$1-q^2=(1-q)(1+q)$$, получаем
$$\frac{324(1-q)}{1+q}=162.$$
Отсюда
$$2(1-q)=1+q,$$
$$2-2q=1+q,$$
$$3q=1,$$
$$q=\frac13.$$
Тогда
$$b_1=18\left(1-\frac13\right)=12.$$
Пусть теперь
$$S=\frac{b_1}{1-q}=2, \qquad S_3=\frac{b_1^3}{1-q^3}=\frac87.$$
Из первого равенства
$$b_1=2(1-q).$$
Подставим во второе:
$$\frac{8(1-q)^3}{1-q^3}=\frac87.$$
Сократим на $$8$$:
$$\frac{(1-q)^3}{1-q^3}=\frac17.$$
Так как $$1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)$$, то
$$\frac{(1-q)^2}{1+q+q^2}=\frac17.$$
После преобразований получаем
$$7(1-2q+q^2)=1+q+q^2,$$
$$6q^2-15q+6=0,$$
$$2q^2-5q+2=0,$$
$$q=2 \text{ или } q=\frac12.$$
Значение $$q=2$$ не подходит, так как тогда $$b_1=2(1-2)=-2$$ и сумма бесконечной прогрессии не существует. Значит,
$$q=\frac12.$$
Тогда
$$b_1=2\left(1-\frac12\right)=1.$$
Искомая сумма квадратов:
$$S_2=\frac{b_1^2}{1-q^2}=\frac{1}{1-\left(\frac12\right)^2}=\frac{1}{1-\frac14}=\frac{4}{3}.$$