Упр.38.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Найдите геометрическую прогрессию, если известно, что ее сумма равна 24, а сумма первых трех членов равна 21. б) Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если известно, что ее сумма равна 31,25, а сумма первых трех членов равна 31.

а) Пусть $$b_1$$ — первый член, $$q$$ — знаменатель геометрической прогрессии.

По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=24,$$

откуда

$$b_1=24(1-q).$$

Сумма первых трёх членов равна:

$$S_3=b_1+b_2+b_3=b_1(1+q+q^2)=21,$$

значит

$$b_1=\frac{21}{1+q+q^2}.$$

Приравняем выражения для $$b_1$$:

$$24(1-q)=\frac{21}{1+q+q^2}.$$

Умножим на $$1+q+q^2$$:

$$24(1-q)(1+q+q^2)=21.$$

Так как

$$ (1-q)(1+q+q^2)=1-q^3, $$

получаем

$$24(1-q^3)=21,$$

$$24-24q^3=21,$$

$$24q^3=3,$$

$$q^3=\frac{1}{8}, \quad q=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$b_1=24\left(1-\frac{1}{2}\right)=12.$$

Итак, геометрическая прогрессия: $$12,\ 6,\ 3,\ldots$$

б) Аналогично, пусть $$b_1$$ — первый член, $$q$$ — знаменатель прогрессии.

Из условия:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=31{,}25,$$

значит

$$b_1=31{,}25(1-q).$$

Также

$$S_3=b_1(1+q+q^2)=31,$$

поэтому

$$b_1=\frac{31}{1+q+q^2}.$$

Приравняем:

$$31{,}25(1-q)=\frac{31}{1+q+q^2}.$$

Умножим на $$1+q+q^2$$:

$$31{,}25(1-q)(1+q+q^2)=31.$$

Так как $$ (1-q)(1+q+q^2)=1-q^3, $$ то

$$31{,}25(1-q^3)=31,$$

$$31{,}25-31{,}25q^3=31,$$

$$31{,}25q^3=0{,}25,$$

$$q^3=\frac{0{,}25}{31{,}25}=\frac{1}{125}, \quad q=\frac{1}{5}.$$

Найдём первый член:

$$b_1=31{,}25\left(1-\frac{1}{5}\right)=25.$$

Седьмой член прогрессии:

$$b_7=b_1q^6=25\left(\frac{1}{5}\right)^6=\frac{1}{625}.$$

Ответ

а) $$b_1=12,\ q=\frac{1}{2}.$$

б) $$b_7=\frac{1}{625}.$$