Упр.38.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Найдите сумму геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и третьего ее членов равна 29, а второго и четвертого 11,6. б) Чему равен пятый член геометрической прогрессии, если известно, что он в 4 раза меньше куба третьего члена прогрессии, а сумма прогрессии равна 4,5?

а) Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$ \begin{cases} b_1+b_3=29,\\ b_2+b_4=11{,}6. \end{cases} $$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$ \begin{cases} b_1+b_1q^2=29,\\ b_1q+b_1q^3=11{,}6. \end{cases} $$

Вынесем общий множитель:

$$ \begin{cases} b_1(1+q^2)=29,\\ b_1q(1+q^2)=11{,}6. \end{cases} $$

Делим второе уравнение на первое:

$$ q=\frac{11{,}6}{29}=0{,}4. $$

Теперь найдём первый член:

$$ b_1=\frac{29}{1+q^2}=\frac{29}{1+0{,}16}=\frac{29}{1{,}16}=25. $$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{25}{1-0{,}4}=\frac{25}{0{,}6}=\frac{125}{3}=41\frac{2}{3}. $$

б) Пусть снова $$b_1$$ — первый член, $$q$$ — знаменатель прогрессии. Тогда

$$b_3=b_1q^2,\quad b_5=b_1q^4.$$

По условию:

$$ b_5=\frac{(b_3)^3}{4},\qquad S=4{,}5. $$

Запишем это через $$b_1$$ и $$q$$:

$$ b_1q^4=\frac{(b_1q^2)^3}{4}=\frac{b_1^3q^6}{4}. $$

Так как $$b_1\neq 0$$, получаем:

$$ 4b_1q^4=b_1^3q^6,\qquad 4=b_1^2q^2,\qquad b_1=\pm \frac{2}{q}. $$

С другой стороны, по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$$ S=\frac{b_1}{1-q}=4{,}5, $$

откуда

$$ b_1=4{,}5(1-q). $$

Рассмотрим случай $$b_1=\frac{2}{q}$$:

$$ \frac{2}{q}=4{,}5(1-q) $$

$$ 2=4{,}5q-4{,}5q^2 $$

$$ 9q^2-9q+4=0. $$

Дискриминант:

$$ D=81-144=-63<0, $$

значит, действительных решений нет.

Теперь случай $$b_1=-\frac{2}{q}$$:

$$ -\frac{2}{q}=4{,}5(1-q) $$

$$ -2=4{,}5q-4{,}5q^2 $$

$$ 9q^2-9q-4=0. $$

$$ D=81+144=225,\qquad \sqrt{D}=15. $$

$$ q_1=\frac{9-15}{18}=-\frac{1}{3},\qquad q_2=\frac{9+15}{18}=\frac{4}{3}. $$

Так как для бесконечной геометрической прогрессии должно быть $$|q|<1$$, берём $$q=-\frac{1}{3}$$.

Тогда

$$ b_1=4{,}5(1-q)=4{,}5\left(1+\frac{1}{3}\right)=4{,}5\cdot \frac{4}{3}=6. $$

Искомый пятый член:

$$ b_5=b_1q^4=6\left(-\frac{1}{3}\right)^4=6\cdot \frac{1}{81}=\frac{2}{27}. $$

Ответ

а) $$41\frac{2}{3}$$; б) $$\frac{2}{27}$$.