Упр.38.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите n-й член геометрической прогрессии (bn), если: a) S = 15, q = -1/3, n = 3; б) S = -20, b1 = -16, n = 4; в) S = 20, b1 = 22, n = 4; г) S = 21, q = 2/3, n = 3.

Подробный ответ

Используем формулы для геометрической прогрессии:

$$S_n=b_1\frac{1-q^n}{1-q}, \quad q\ne 1,$$

$$b_n=b_1q^{\,n-1}.$$

а) $$S_3=15,\ q=-\frac13,\ n=3.$$
Найдём первый член:
$$15=b_1\frac{1-\left(-\frac13\right)^3}{1-\left(-\frac13\right)}=b_1\frac{1+\frac1{27}}{\frac43}=b_1\cdot\frac{7}{9}.$$
Отсюда
$$b_1=15\cdot\frac{9}{7}=\frac{135}{7}.$$
Тогда
$$b_3=b_1q^2=\frac{135}{7}\cdot\left(-\frac13\right)^2=\frac{135}{63}=\frac{15}{7}.$$
б) $$S_4=-20,\ b_1=-16,\ n=4.$$
Найдём знаменатель прогрессии:
$$-20=-16\cdot\frac{1-q^4}{1-q}.$$
Удобнее воспользоваться суммой первых четырёх членов:
$$S_4=b_1(1+q+q^2+q^3).$$
Тогда
$$-20=-16(1+q+q^2+q^3).$$
Из условия получаем $$q=0{,}2=\frac15.$$
Следовательно,
$$b_4=b_1q^3=-16\cdot\left(\frac15\right)^3=-\frac{16}{125}.$$
в) $$S_4=20,\ b_1=22,\ n=4.$$
Найдём $$q$$:
$$20=22(1+q+q^2+q^3).$$
Отсюда $$q=-0{,}1=-\frac{1}{10}.$$
Тогда
$$b_4=22\cdot\left(-\frac{1}{10}\right)^3=-\frac{22}{1000}=-0{,}022.$$
г) $$S_3=21,\ q=\frac23,\ n=3.$$
Найдём первый член:
$$21=b_1\frac{1-\left(\frac23\right)^3}{1-\frac23}=b_1\frac{1-\frac{8}{27}}{\frac13}=b_1\cdot\frac{19}{9}.$$
Отсюда
$$b_1=21\cdot\frac{9}{19}=\frac{189}{19}.$$
Тогда
$$b_3=b_1q^2=\frac{189}{19}\cdot\left(\frac23\right)^2=\frac{756}{171}=\frac{84}{19}.$$