Упр.38.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) lim (2*3n + 3*4n)/(2n — 6*4n); б) lim (3*5n — 7*4n)/(2n + 6*5n).

а) Разделим числитель и знаменатель на $$4^n$$:

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{2\cdot 3^n+3\cdot 4^n}{2^n-6\cdot 4^n} = \lim_{n\to\infty}\frac{2\left(\frac34\right)^n+3}{\left(\frac12\right)^n-6}. $$

При $$n\to\infty$$ имеем $$\left(\frac34\right)^n\to 0$$ и $$\left(\frac12\right)^n\to 0$$, значит

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{2\left(\frac34\right)^n+3}{\left(\frac12\right)^n-6} = \frac{0+3}{0-6} = -\frac12. $$

б) Разделим числитель и знаменатель на $$5^n$$:

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{3\cdot 5^n-7\cdot 4^n}{2^n+6\cdot 5^n} = \lim_{n\to\infty}\frac{3-7\left(\frac45\right)^n}{\left(\frac25\right)^n+6}. $$

Так как $$\left(\frac45\right)^n\to 0$$ и $$\left(\frac25\right)^n\to 0$$ при $$n\to\infty$$, получаем

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{3-7\left(\frac45\right)^n}{\left(\frac25\right)^n+6} = \frac{3-0}{0+6} = \frac12. $$

Ответ

$$ \text{а) } -\frac12,\qquad \text{б) } \frac12. $$