Упр.38.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите: a) lim (1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + … + 1/n(n+1)); б) lim (1/(1*3) + 1/(3*5) + 1/(5*7) + … + 1/(2n-1)(2n+1)).

Подробный ответ

а) Представим каждый дробный множитель в виде разности:

$$ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} $$
Тогда
$$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)} $$
$$ =\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\cdots+\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right) $$
$$ =1-\frac1{n+1}. $$
Следовательно,
$$ \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1{n+1}\right)=1. $$

б) Аналогично:

$$ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac12\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right) $$
Тогда
$$ \frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} $$
$$ =\frac12\left(\left(1-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac17\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right) $$
$$ =\frac12\left(1-\frac{1}{2n+1}\right). $$
Следовательно,
$$ \lim_{n\to\infty}\frac12\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac12. $$