Упр.38.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) xn = ((2n + n)(3n — 4) — 6n2 + 12n)/(n + 5); б) xn = (n2(2n + 5) — 2n3 + 5n2 — 13)/(n((n + 1)(n — 7) + (1 — n))); в) xn = ((1 — n)(n2 + 1) + n3)/(n2 + 2n); г) xn = (n(7 — n2) + n3 — 3n — 1)/((n + 1)(n + 2) + (2n2 + 1).

1. $$x_n=\frac{(2n+1)(3n-4)-6n^2+12n}{n+5}$$

   Раскроем скобки и приведём подобные:

   $$ (2n+1)(3n-4)=6n^2-8n+3n-4=6n^2-5n-4 $$

   $$ x_n=\frac{6n^2-5n-4-6n^2+12n}{n+5}=\frac{7n-4}{n+5} $$

   Найдём предел:

   $$ \lim_{n\to\infty}\frac{7n-4}{n+5} =\lim_{n\to\infty}\frac{7-\frac{4}{n}}{1+\frac{5}{n}}=7 $$

2. $$x_n=\frac{n^2(2n+5)-2n^3+5n^2-13}{n(n+1)(n-7)+1-n}$$

   Упростим числитель и знаменатель:

   $$ n^2(2n+5)-2n^3+5n^2-13=2n^3+5n^2-2n^3+5n^2-13=10n^2-13 $$

   $$ n(n+1)(n-7)+1-n=n(n^2-6n-7)+1-n=n^3-6n^2-8n+1 $$

   Тогда

   $$ x_n=\frac{10n^2-13}{n^3-6n^2-8n+1} $$

   Делим числитель и знаменатель на $$n^3$$:

   $$ \lim_{n\to\infty}\frac{10n^2-13}{n^3-6n^2-8n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{10}{n}-\frac{13}{n^3}}{1-\frac{6}{n}-\frac{8}{n^2}+\frac{1}{n^3}}=0 $$

3. $$x_n=\frac{(1-n)(n^2+1)+n^3}{n^2+2n}$$

   Раскроем скобки:

   $$ (1-n)(n^2+1)=n^2+1-n^3-n $$

   Тогда

   $$ x_n=\frac{n^2+1-n^3-n+n^3}{n^2+2n}=\frac{n^2-n+1}{n^2+2n} $$

   Найдём предел:

   $$ \lim_{n\to\infty}\frac{n^2-n+1}{n^2+2n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}}=1 $$

4. $$x_n=\frac{n(7-n^2)+n^3-3n-1}{(n+1)(n+2)+2n^2+1}$$

   Упростим выражение:

   $$ n(7-n^2)+n^3-3n-1=7n-n^3+n^3-3n-1=4n-1 $$

   $$ (n+1)(n+2)+2n^2+1=n^2+3n+2+2n^2+1=3n^2+3n+3 $$

   Тогда

   $$ x_n=\frac{4n-1}{3n^2+3n+3} $$

   И предел равен

   $$ \lim_{n\to\infty}\frac{4n-1}{3n^2+3n+3} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{4}{n}-\frac{1}{n^2}}{3+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}}=0 $$

Ответ

а) $$7$$; б) $$0$$; в) $$1$$; г) $$0$$.