Упр.38.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) xn = ((2n + 1)(n — 3))/n2; б) xn = ((3n + 1)(4n — 1))/(n + 1)2; в) xn = ((3n — 2)(2n + 3))/n2; г) xn = ((1 — 2n)(1 + n))/(n + 2)2.

Найдём пределы последовательностей, выделяя старшие степени $n$ в числителе и знаменателе.

1. $$ x_n=\frac{(2n+1)(n-3)}{n^2}=\frac{2n^2-6n+n-3}{n^2}=\frac{2n^2-5n-3}{n^2} $$

   $$ \lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{2-\frac{5}{n}-\frac{3}{n^2}}{1}=2 $$

2. $$ x_n=\frac{(3n+1)(4n-1)}{(n+1)^2}=\frac{12n^2-3n+4n-1}{n^2+2n+1}=\frac{12n^2+n-1}{n^2+2n+1} $$

   $$ \lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{12+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}=12 $$

3. $$ x_n=\frac{(3n-2)(2n+3)}{n^2}=\frac{6n^2+9n-4n-6}{n^2}=\frac{6n^2+5n-6}{n^2} $$

   $$ \lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{6+\frac{5}{n}-\frac{6}{n^2}}{1}=6 $$

4. $$ x_n=\frac{(1-2n)(1+n)}{(n+2)^2}=\frac{1+n-2n-2n^2}{n^2+4n+4}=\frac{1-n-2n^2}{n^2+4n+4} $$

   $$ \lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}-2}{1+\frac{4}{n}+\frac{4}{n^2}}=-2 $$

Ответ

а) $2$; б) $12$; в) $6$; г) $-2$.