Упр.38.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) хn = 1 + 1/2 + 1/2(2) + … + 1/2(n); б) xn = 1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/2n.

а) Рассмотрим последовательность

$$x_n=1+\frac12+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{2^n}.$$

Каждый следующий член суммы положителен, значит

$$x_n<x_{n+1},$$

то есть последовательность возрастает.

Это сумма первых $n+1$ членов геометрической прогрессии с $b_1=1$ и $q=\frac12$. Тогда

$$x_n=1+\frac12+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{2^n}=1+\frac{\frac12\left(1-\left(\frac12\right)^n\right)}{1-\frac12}=2-\left(\frac12\right)^n.$$

Следовательно,

$$1<x_n<2.$$

Значит, последовательность возрастает и ограничена сверху, поэтому по теореме Вейерштрасса она имеет предел.

б) Рассмотрим последовательность

$$x_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}.$$

Найдём разность соседних членов:

$$ x_{n+1}-x_n=\left(\frac1{n+2}+\frac1{n+3}+\cdots+\frac1{2n+2}\right)-\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}\right) $$

$$ =\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}. $$

Сгруппируем:

$$ x_{n+1}-x_n=\left(\frac1{2n+1}-\frac1{n+1}\right)+\left(\frac1{2n+2}-\frac1{n+2}\right)>0, $$

так как каждый из добавляемых членов в $x_{n+1}$ меньше соответствующего вычитаемого члена в $x_n$? Удобнее оценить саму последовательность:

$$ x_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n} <\frac1n+\frac1n+\cdots+\frac1n=1, $$

где слагаемых $n$.

Кроме того, все слагаемые положительны, значит

$$x_n>0.$$

Итак, последовательность ограничена сверху и снизу, а значит, по теореме Вейерштрасса имеет предел.

Ответ

а) Последовательность имеет предел.
б) Последовательность имеет предел.