Упр.38.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Пользуясь теоремой о пределе монотонной ограниченной последовательности, докажите, что последовательность имеет предел: a) xn = (3n2 + 2)/n2; б) xn = (n2 — 5)/(n2 + 5).

Подробный ответ

а) $$x_n=\frac{3n^2+2}{n^2}=3+\frac{2}{n^2}.$$
Так как $$\frac{2}{n^2}>0$$ и при увеличении $$n$$ дробь $$\frac{2}{n^2}$$ убывает, то последовательность $$x_n$$ убывает. Кроме того, $$x_n>3$$, значит она ограничена снизу.
Следовательно, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, последовательность имеет предел.
Найдём его:
$$\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\left(3+\frac{2}{n^2}\right)=3+0=3.$$
б) $$x_n=\frac{n^2-5}{n^2+5}=1-\frac{10}{n^2+5}.$$
Так как $$\frac{10}{n^2+5}>0$$ и при увеличении $$n$$ дробь $$\frac{10}{n^2+5}$$ убывает, то последовательность $$x_n$$ возрастает. Кроме того, $$x_n<1$$, значит она ограничена сверху.
Следовательно, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, последовательность имеет предел.
Найдём его:
$$\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{10}{n^2+5}\right)=1-0=1.$$