Упр.38.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Верно ли утверждение: a) если последовательность имеет предел, то она монотонна; б) если последовательность монотонна, то она имеет предел; в) если последовательность ограничена, то она имеет предел; г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела?

1. а) Утверждение неверно. Существует последовательность, имеющая предел, но не являющаяся монотонной, например

   $$y_n=\frac{(-1)^n}{n}, \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0.$$

2. б) Утверждение неверно. Монотонная последовательность может не иметь предела, например

   $$y_n=n, \qquad \lim_{n\to\infty} n \text{ не существует}.$$

3. в) Утверждение неверно. Ограниченная последовательность может не иметь предела, например

   $$y_n=(-1)^n, \qquad \lim_{n\to\infty}(-1)^n \text{ не существует}.$$

4. г) Утверждение неверно. Немонотонная последовательность может иметь предел, например

   $$y_n=\frac{2(-1)^n}{n}, \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{2(-1)^n}{n}=0.$$

Ответ

а) неверно; б) неверно; в) неверно; г) неверно.