Упр.37.60 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Приведите пример последовательности: a) возрастающей, ограниченной сверху, все члены которой положительные числа; б) убывающей, все члены которой принадлежат интервалу (0; 7); в) возрастающей, имеющей ровно три отрицательных члена; г) неограниченной, немонотонной.

1. а) Возьмём, например, последовательность $$y_n=\arctg n.$$

   Она возрастающая, ограничена сверху, так как $$\arctg n<\frac{\pi}{2},$$ и все её члены положительны.

2. б) Подойдёт последовательность $$y_n=7\arctg n.$$

   Так как $$\arctg n$$ возрастает, то последовательность $$y_n$$ убывающей не является; поэтому удобнее взять, например,

   $$y_n=7-\arctg n.$$

   Тогда $$y_n$$ убывает, а поскольку $$0<\arctg n<\frac{\pi}{2},$$ то

   $$7-\frac{\pi}{2}<y_n<7,$$

   значит, все члены последовательности принадлежат интервалу $$\left(0;7\right).$$

3. в) Возьмём, например, последовательность $$y_n=n-4.$$

   Она возрастающая. Её первые члены:

   $$-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\dots$$

   Отрицательных членов ровно три.

4. г) Подойдёт последовательность $$y_n=(-2)^n.$$

   Она неограниченная, так как $$|y_n|=2^n\to\infty,$$ и немонотонная, поскольку её члены поочерёдно меняют знак.

Ответ

а) $$y_n=\arctg n;$$
б) $$y_n=7-\arctg n;$$
в) $$y_n=n-4;$$
г) $$y_n=(-2)^n.$$