Упр.37.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: По заданной формуле n-го члена вычислите первые пять членов последовательности (уn): a) уn = sin n пи/2 — ctg пи/4(2n + 1); б) уп = cos n пи/2 + tg пи/4(2n + 1); в) уn = n sin n пи/2 + n2 cos n пи/2; г) уn = sin n пи/4 — n cos n пи/4.

Подставим в формулу последовательности значения $$n=1,2,3,4,5$$ и воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций.

а) $$y_n=\sin \frac{n\pi}{2}-\ctg \frac{\pi}{4}(2n+1)$$

$$ \begin{aligned} y_1&=\sin \frac{\pi}{2}-\ctg \frac{3\pi}{4}=1-(-1)=2,\\ y_2&=\sin \pi-\ctg \frac{5\pi}{4}=0-1=-1,\\ y_3&=\sin \frac{3\pi}{2}-\ctg \frac{7\pi}{4}=-1-(-1)=0,\\ y_4&=\sin 2\pi-\ctg \frac{9\pi}{4}=0-1=-1,\\ y_5&=\sin \frac{5\pi}{2}-\ctg \frac{11\pi}{4}=1-(-1)=2. \end{aligned} $$

б) $$y_n=\cos \frac{n\pi}{2}+\tg \frac{\pi}{4}(2n+1)$$

$$ \begin{aligned} y_1&=\cos \frac{\pi}{2}+\tg \frac{3\pi}{4}=0+(-1)=-1,\\ y_2&=\cos \pi+\tg \frac{5\pi}{4}=-1+1=0,\\ y_3&=\cos \frac{3\pi}{2}+\tg \frac{7\pi}{4}=0+(-1)=-1,\\ y_4&=\cos 2\pi+\tg \frac{9\pi}{4}=1+1=2,\\ y_5&=\cos \frac{5\pi}{2}+\tg \frac{11\pi}{4}=0+(-1)=-1. \end{aligned} $$

в) $$y_n=n\sin \frac{n\pi}{2}+n^2\cos \frac{n\pi}{2}$$

$$ \begin{aligned} y_1&=1\cdot \sin \frac{\pi}{2}+1^2\cdot \cos \frac{\pi}{2}=1,\\ y_2&=2\cdot \sin \pi+2^2\cdot \cos \pi=0+4(-1)=-4,\\ y_3&=3\cdot \sin \frac{3\pi}{2}+3^2\cdot \cos \frac{3\pi}{2}=3(-1)+9\cdot 0=-3,\\ y_4&=4\cdot \sin 2\pi+4^2\cdot \cos 2\pi=0+16\cdot 1=16,\\ y_5&=5\cdot \sin \frac{5\pi}{2}+5^2\cdot \cos \frac{5\pi}{2}=5\cdot 1+25\cdot 0=5. \end{aligned} $$

г) $$y_n=\sin \frac{n\pi}{4}-n\cos \frac{n\pi}{4}$$

$$ \begin{aligned} y_1&=\sin \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}=0,\\ y_2&=\sin \frac{\pi}{2}-2\cos \frac{\pi}{2}=1-2\cdot 0=1,\\ y_3&=\sin \frac{3\pi}{4}-3\cos \frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}-3\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=2\sqrt2,\\ y_4&=\sin \pi-4\cos \pi=0-4(-1)=4,\\ y_5&=\sin \frac{5\pi}{4}-5\cos \frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}-5\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=2\sqrt2. \end{aligned} $$

Ответ

а) $$2,\,-1,\,0,\,-1,\,2$$;
б) $$-1,\,0,\,-1,\,2,\,-1$$;
в) $$1,\,-4,\,-3,\,16,\,5$$;
г) $$0,\,1,\,2\sqrt2,\,4,\,2\sqrt2$$.