Упр.37.58 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Исследуйте последовательность (xn) на ограниченность и монотонность: a) xn = n/(n+2); б) xn = (n2 + 1)/(n2).

Подробный ответ

а) $$x_n=\frac{n}{n+2}=1-\frac{2}{n+2}.$$

Найдём разность соседних членов:

$$ x_{n+1}-x_n=\frac{n+1}{n+3}-\frac{n}{n+2} =\frac{(n+1)(n+2)-n(n+3)}{(n+3)(n+2)} =\frac{2}{(n+3)(n+2)}>0. $$

Значит, последовательность возрастает.

Так как $$n\ge 1,$$ то $$n+2>n,$$ следовательно,

$$0<\frac{n}{n+2}<1.$$

Значит, последовательность ограничена.

б) $$x_n=\frac{n^2+1}{n^2}=1+\frac{1}{n^2}.$$

Найдём разность соседних членов:

$$ x_{n+1}-x_n=\frac{(n+1)^2+1}{(n+1)^2}-\frac{n^2+1}{n^2} =\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{n^2} =\frac{n^2-(n+1)^2}{n^2(n+1)^2} =\frac{-2n-1}{n^2(n+1)^2}<0. $$

Значит, последовательность убывает.

При этом $$\frac{1}{n^2}>0,$$ поэтому

$$x_n=1+\frac{1}{n^2}>1.$$

Кроме того, $$x_n\le 2$$ при $$n\ge 1,$$ значит, последовательность ограничена.