Упр.37.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Дана последовательность хn = n2 — 1. Исследуйте на ограниченность и монотонность последовательность (уn): a) уn = xn; б) Уп = x(n+1) — xn; в) уn = x(n+2)/x(n+1); г) уn =1/(x(n+1)).

Пусть $$x_n=n^2-1.$$ Исследуем каждую последовательность отдельно.

1. $$y_n=x_n=n^2-1.$$

   Найдём разность соседних членов:

   $$ y_{n+1}-y_n=((n+1)^2-1)-(n^2-1)=2n+1>0. $$

   Значит, последовательность $$y_n$$ возрастает.

   Так как $$y_n=n^2-1\ge 0$$ при $$n\ge 1$$, то она ограничена снизу.

2. $$y_n=x_{n+1}-x_n.$$

   Вычислим:

   $$ y_n=((n+1)^2-1)-(n^2-1)=2n+1. $$

   Тогда

   $$ y_{n+1}-y_n=\bigl(2(n+1)+1\bigr)-(2n+1)=2>0. $$

   Следовательно, последовательность возрастает.

   Кроме того, $$y_n=2n+1>0$$, значит, она ограничена снизу.

3. $$y_n=\dfrac{x_{n+2}}{x_{n+1}}=\dfrac{(n+2)^2-1}{(n+1)^2-1}.$$

   Упростим:

   $$ y_n=\dfrac{n^2+4n+3}{n^2+2n} =\dfrac{(n+1)(n+3)}{n(n+2)}. $$

   Для $$n\ge 1$$ знаменатель положителен, и

   $$ y_n=1+\dfrac{2n+3}{n^2+2n}>1. $$

   Проверим монотонность по отношению соседних членов:

   $$ \dfrac{y_{n+1}}{y_n} =\dfrac{(n+2)(n+4)}{(n+1)(n+3)}\cdot\dfrac{n(n+2)}{(n+1)(n+3)} <1, $$

   так как числитель меньше знаменателя. Значит, последовательность убывает.

   Так как $$y_n>1$$, она ограничена снизу.

4. $$y_n=\dfrac{1}{x_{n+1}}=\dfrac{1}{(n+1)^2-1}=\dfrac{1}{n^2+2n}.$$

   При $$n\ge 1$$ все члены положительны. Кроме того, знаменатель $$n^2+2n$$ возрастает, значит, дробь убывает.

   Следовательно, последовательность убывает и ограничена снизу.

Ответ

а) возрастает, ограничена снизу;
б) возрастает, ограничена снизу;
в) убывает, ограничена снизу;
г) убывает, ограничена снизу.