Упр.37.56 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях параметра р последовательность (уn) будет убывающей: a) yn = 2/pn; б) yn = (pn+2)/(pn+3) в) yn = p/sin 1/n г) yn = (5n2-p)/n2.

1. а) $$y_n=\frac{2}{pn}$$

   Найдём отношение соседних членов:

   $$ \frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{2}{p(n+1)}\cdot\frac{pn}{2} = \frac{n}{n+1} <1. $$

   Чтобы последовательность была убывающей, её члены должны быть положительными, значит $$p>0$$.

2. б) $$y_n=\frac{pn+2}{pn+3}=1-\frac{1}{pn+3}$$

   Последовательность $$y_n$$ будет убывать, если последовательность знаменателей $$pn+3$$ возрастает, то есть если

   $$ (p(n+1)+3)-(pn+3)=p>0. $$

   Но так как $$y_n=1-\frac{1}{pn+3}$$, то при возрастании знаменателя дробь $$\frac{1}{pn+3}$$ убывает, а значит $$y_n$$ возрастает. Следовательно, для убывания нужно, чтобы знаменатель убывал, то есть

   $$p<0.$$

3. в) $$y_n=\frac{p}{\sin\frac{1}{n}}$$

   Так как при $$n\ge 1$$ аргумент $$\frac{1}{n}$$ убывает, то значения $$\sin\frac{1}{n}$$ тоже убывают, а значит дробь $$\frac{1}{\sin\frac{1}{n}}$$ возрастает.

   Тогда последовательность $$y_n$$ будет убывающей только при отрицательном $$p$$:

   $$p<0.$$

4. г) $$y_n=\frac{5n^2-p}{n^2}=5-\frac{p}{n^2}$$

   Последовательность $$y_n$$ будет убывать, если последовательность $$\frac{p}{n^2}$$ возрастает.

   Так как $$\frac{1}{n^2}$$ убывает, то $$\frac{p}{n^2}$$ возрастает при

   $$p<0.$$

Ответ

а) $$p>0$$; б) $$p<0$$; в) $$p<0$$; г) $$p<0$$.