Упр.37.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях параметра р последовательность (уn) будет возрастающей: a) уn = рn — 5; б) уn =- (p-1)/n; в) уn = 2 — рn; г) yn = (p+2)/(n+1)?

Подробный ответ

Последовательность будет возрастающей, если для всех $$n$$ выполняется неравенство $$y_{n+1}-y_n>0$$.

$$y_n=pn-5$$
$$y_{n+1}=p(n+1)-5=pn+p-5$$
$$y_{n+1}-y_n=(pn+p-5)-(pn-5)=p$$
Чтобы последовательность возрастала, нужно $$p>0$$.
$$y_n=-\frac{p-1}{n}$$
$$y_{n+1}=-\frac{p-1}{n+1}$$
$$\frac{y_{n+1}}{y_n}=\frac{-\frac{p-1}{n+1}}{-\frac{p-1}{n}}=\frac{n}{n+1}<1$$
Для возрастания нужно, чтобы члены последовательности были положительными, то есть $$-\frac{p-1}{n}>0$$, откуда $$p-1<0$$, значит $$p<1$$.
Но при $$p<1$$ все члены отрицательны, и тогда из $$\frac{y_{n+1}}{y_n}<1$$ следует, что последовательность возрастает. Следовательно, $$p<1$$.
$$y_n=2-pn$$
$$y_{n+1}=2-p(n+1)=2-pn-p$$
$$y_{n+1}-y_n=(2-pn-p)-(2-pn)=-p$$
Чтобы последовательность возрастала, нужно $$-p>0$$, то есть $$p<0$$.
$$y_n=\frac{p+2}{n+1}$$
$$y_{n+1}=\frac{p+2}{n+2}$$
$$\frac{y_{n+1}}{y_n}=\frac{\frac{p+2}{n+2}}{\frac{p+2}{n+1}}=\frac{n+1}{n+2}<1$$
Для возрастания нужно, чтобы $$y_n>0$$, то есть $$p+2>0$$. Тогда последовательность возрастает при $$p>-2$$.