Упр.37.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Если (хn) — возрастающая последовательность с положительными членами, то что можно сказать о монотонности последовательности (уn): a) уn = 5хn + 7; б) уn = 7/(3+xn); в) уn= 2 — Зхn; г) уn = (хn)2 + 2?
Пусть $$x_{n+1} > x_n$$, так как последовательность $$\left(x_n\right)$$ возрастающая.
$$y_n = 5x_n + 7$$
Тогда
$$5x_{n+1} > 5x_n$$
$$5x_{n+1} + 7 > 5x_n + 7$$
Значит, $$y_{n+1} > y_n$$, то есть последовательность $$\left(y_n\right)$$ возрастает.
$$y_n = \frac{7}{3+x_n}$$
Так как $$x_{n+1} > x_n$$, то
$$3+x_{n+1} > 3+x_n$$
При положительных знаменателях получаем
$$\frac{7}{3+x_{n+1}} < \frac{7}{3+x_n}$$
Следовательно, $$y_{n+1} < y_n$$, значит, последовательность $$\left(y_n\right)$$ убывает.
$$y_n = 2 — 3x_n$$
Из $$x_{n+1} > x_n$$ следует
$$-3x_{n+1} < -3x_n$$
Тогда
$$2-3x_{n+1} < 2-3x_n$$
Значит, $$y_{n+1} < y_n$$, то есть последовательность $$\left(y_n\right)$$ убывает.
$$y_n = \left(x_n\right)^2 + 2$$
Так как все члены последовательности положительны и $$x_{n+1} > x_n$$, то
$$\left(x_{n+1}\right)^2 > \left(x_n\right)^2$$
Следовательно,
$$\left(x_{n+1}\right)^2 + 2 > \left(x_n\right)^2 + 2$$
Значит, $$y_{n+1} > y_n$$, то есть последовательность $$\left(y_n\right)$$ возрастает.
Ответ
а) возрастает; б) убывает; в) убывает; г) возрастает.
