Упр.37.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что заданная последовательность убывает: a) уn = (3n+5)/(3n-1); б) yn = 1/(n3+2n) в) уn = (n2+15)/(n2+2); г) yn = (n4+2n2+7)/(n4+2n2-1).

1. а) $$y_n=\frac{3n+5}{3n-1}=1+\frac{6}{3n-1}.$$

   При увеличении $$n$$ знаменатель дроби $$3n-1$$ возрастает, значит дробь $$\frac{6}{3n-1}$$ убывает. Следовательно, убывает и последовательность $$y_n$$.

2. б) $$y_n=\frac{1}{n^3+2n}.$$

   Знаменатель $$n^3+2n$$ при увеличении $$n$$ возрастает, поэтому дробь $$\frac{1}{n^3+2n}$$ убывает. Значит, последовательность $$y_n$$ убывает.

3. в) $$y_n=\frac{n^2+15}{n^2+2}=1+\frac{13}{n^2+2}.$$

   Так как $$n^2+2$$ возрастает при увеличении $$n$$, то дробь $$\frac{13}{n^2+2}$$ убывает. Следовательно, убывает и последовательность $$y_n$$.

4. г) $$y_n=\frac{n^4+2n^2+7}{n^4+2n^2-1}=1+\frac{8}{n^4+2n^2-1}.$$

   Знаменатель $$n^4+2n^2-1$$ возрастает при увеличении $$n$$, значит дробь $$\frac{8}{n^4+2n^2-1}$$ убывает. Поэтому убывает и последовательность $$y_n$$.

Ответ

Все четыре последовательности убывают.