Упр.37.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что заданная последовательность возрастает: a) уn = n + 2n; б) yn = n2/(n2+10) в) уn = (n+1)/(n+7); г) yn = (n4+3n2+1)/(n4+3n2+6).

1. а) $$y_n=n^3+2n$$

   Найдём разность соседних членов:
   $$ y_{n+1}=(n+1)^3+2(n+1)=n^3+3n^2+3n+1+2n+2=n^3+3n^2+5n+3, $$
   $$ y_{n+1}-y_n=(n^3+3n^2+5n+3)-(n^3+2n)=3n^2+3n+3>0. $$
   Значит, последовательность возрастает.

2. б) $$y_n=\frac{n^2}{n^2+10}$$

   Представим так:
   $$ y_n=1-\frac{10}{n^2+10}. $$
   При увеличении $$n$$ знаменатель дроби $$\frac{10}{n^2+10}$$ возрастает, значит сама дробь убывает, а $$y_n$$ возрастает.

3. в) $$y_n=\frac{n+1}{n+7}$$

   Преобразуем:
   $$ y_n=\frac{n+7-6}{n+7}=1-\frac{6}{n+7}. $$
   При увеличении $$n$$ знаменатель дроби $$\frac{6}{n+7}$$ возрастает, значит эта дробь убывает, а $$y_n$$ возрастает.

4. г) $$y_n=\frac{n^4+3n^2+1}{n^4+3n^2+6}$$

   Запишем:
   $$ y_n=1-\frac{5}{n^4+3n^2+6}. $$
   При увеличении $$n$$ знаменатель дроби $$\frac{5}{n^4+3n^2+6}$$ возрастает, значит эта дробь убывает, а $$y_n$$ возрастает.

Ответ

Во всех пунктах последовательность возрастает.