Упр.37.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Исследуйте на монотонность последовательность: a) уn = -2n + 1; б) уn = Зn2 + n — 1; в) уn = cos 1/n; г) уn = n/(n2+1).
$$y_n=-2n+1$$
$$y_{n+1}=-2(n+1)+1=-2n-1$$
$$y_{n+1}-y_n=(-2n-1)-(-2n+1)=-2<0$$
Следовательно, последовательность убывает.
$$y_n=3n^2+n-1$$
$$y_{n+1}=3(n+1)^2+(n+1)-1=3n^2+7n+3$$
$$y_{n+1}-y_n=(3n^2+7n+3)-(3n^2+n-1)=6n+4>0$$
Следовательно, последовательность возрастает.
$$y_n=\cos \frac{1}{n}$$
Так как при $$n\ge 1$$ имеем $$\frac{1}{n}$$ — убывающую последовательность, а функция $$\cos x$$ убывает на промежутке $$[0;\pi]$$, то значения $$\cos \frac{1}{n}$$ возрастают.
Следовательно, последовательность возрастает.
$$y_n=\frac{n}{n^2+1}$$
$$y_{n+1}=\frac{n+1}{(n+1)^2+1}=\frac{n+1}{n^2+2n+2}$$
$$y_{n+1}-y_n=\frac{n+1}{n^2+2n+2}-\frac{n}{n^2+1}$$
$$y_{n+1}-y_n=\frac{(n+1)(n^2+1)-n(n^2+2n+2)}{(n^2+1)(n^2+2n+2)}$$
$$y_{n+1}-y_n=\frac{n^3+n^2+n+1-n^3-2n^2-2n}{(n^2+1)(n^2+2n+2)}=\frac{-n^2-n+1}{(n^2+1)(n^2+2n+2)}$$
При $$n\ge 1$$ числитель отрицателен, знаменатель положителен, значит $$y_{n+1}-y_n<0$$.
Следовательно, последовательность убывает.
Ответ
а) убывает; б) возрастает; в) возрастает; г) убывает.
