Упр.37.50 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Выясните, какие из приведенных последовательностей являются монотонными; укажите характер монотонности: a) yn = 5(-n); б) уn = cos (пи/(n+5)) в) уn = 2/(3n+1); г) yn = корень(n + 8).

Исследуем каждую последовательность по формуле $$y_{n+1}$$ и сравнению с $$y_n$$.

1. $$y_n=5^{-n}$$

   Тогда

   $$ y_{n+1}=5^{-(n+1)}=5^{-n-1} $$

   $$ \frac{y_{n+1}}{y_n}=\frac{5^{-n-1}}{5^{-n}}=\frac{1}{5}<1 $$

   Значит, последовательность убывает.

2. $$y_n=\cos\frac{\pi}{n+5}$$

   При увеличении $$n$$ дробь $$\frac{\pi}{n+5}$$ уменьшается, а на промежутке $$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$ функция косинуса возрастает. Следовательно, последовательность возрастает.

3. $$y_n=\frac{2}{3n+1}$$

   Тогда

   $$ y_{n+1}=\frac{2}{3(n+1)+1}=\frac{2}{3n+4} $$

   $$ \frac{y_{n+1}}{y_n}=\frac{2}{3n+4}\cdot\frac{3n+1}{2}=\frac{3n+1}{3n+4}<1 $$

   Значит, последовательность убывает.

4. $$y_n=\sqrt{n+8}$$

   Тогда

   $$ y_{n+1}=\sqrt{n+9} $$

   Так как $$n+9>n+8$$, то $$\sqrt{n+9}>\sqrt{n+8}$$. Следовательно, последовательность возрастает.

Ответ

а) убывает; б) возрастает; в) убывает; г) возрастает.