Упр.37.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Определите, является последовательность (xn) убывающей или возрастающей: a) хn = 3п + 2; б) xn = 5/(n+3); в) xn = 6(1-n); г) xn = (-1/5)(2n-1).

Подробный ответ

$$x_n=3n+2$$
Найдём следующий член последовательности:
$$x_{n+1}=3(n+1)+2=3n+5$$
$$x_{n+1}-x_n=(3n+5)-(3n+2)=3>0$$
Значит, $$x_{n+1}>x_n$$, последовательность возрастающая.
$$x_n=\frac{5}{n+3}$$
$$x_{n+1}=\frac{5}{n+4}$$
Так как при $$n\in \mathbb{N}$$ выполняется $$n+4>n+3$$, то
$$\frac{5}{n+4}<\frac{5}{n+3}$$
Следовательно, $$x_{n+1}<x_n$$, последовательность убывающая.
$$x_n=6^{\,1-n}$$
$$x_{n+1}=6^{\,1-(n+1)}=6^{-n}$$
$$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{6^{-n}}{6^{\,1-n}}=6^{-1}=\frac16<1$$
Значит, $$x_{n+1}<x_n$$, последовательность убывающая.
$$x_n=\left(-\frac15\right)^{2n-1}$$
Поскольку показатель $$2n-1$$ всегда нечётный, то все члены последовательности отрицательны.
Найдём отношение соседних членов:
$$x_{n+1}=\left(-\frac15\right)^{2(n+1)-1}=\left(-\frac15\right)^{2n+1}$$
$$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\left(-\frac15\right)^{2n+1}}{\left(-\frac15\right)^{2n-1}}=\left(-\frac15\right)^2=\frac1{25}<1$$
Следовательно, $$x_{n+1}>x_n$$, последовательность возрастающая.