Упр.37.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях параметра р последовательность: a) уn = (2n+p)/(3n-1) ограничена сверху числом 1; б) уn = (p+5n)/(3n+1) ограничена снизу числом 1?

а) Чтобы последовательность $$y_n=\frac{2n+p}{3n-1}$$ была ограничена сверху числом $$1$$, должно выполняться неравенство

$$\frac{2n+p}{3n-1}\le 1.$$

Так как в данных примерах наименьшее значение $$n$$ равно $$1$$, то достаточно проверить это неравенство при $$n=1$$:

$$\frac{2+p}{2}\le 1,$$

$$2+p\le 2,$$

$$p\le 0.$$

Значит, при $$p\le 0$$ последовательность ограничена сверху числом $$1$$.

б) Чтобы последовательность $$y_n=\frac{p+5n}{3n+1}$$ была ограничена снизу числом $$1$$, должно выполняться неравенство

$$\frac{p+5n}{3n+1}\ge 1.$$

При $$n=1$$ получаем:

$$\frac{p+5}{4}\ge 1,$$

$$p+5\ge 4,$$

$$p\ge -1.$$

Следовательно, при $$p\ge -1$$ последовательность ограничена снизу числом $$1$$.

Ответ

а) $$p\le 0$$; б) $$p\ge -1$$.