Упр.37.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Является ли ограниченной последовательность: a) 1/2,1/3,1/4,…,1/n,…; б) -2, 3, -4, 5, … , (-1 )n(п + 1),… ; в) sin 1 / 1, sin 2 / 2, sin 3 / 3, ((-1)(n-1) sin n)/n,…; r) tg пи/4, tg 3пи/4, tg 5пи/4, … , tgпи/4(2n-1),…?

Подробный ответ

а) $$\frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \ldots,\ \frac1n,\ \ldots$$

Для всех членов последовательности выполняется

$$0<\frac1n\le \frac12.$$

Значит, последовательность ограничена снизу и сверху.

$$y_{\min}=0,\qquad y_{\max}=\frac12.$$

б) $$-2,\ 3,\ -4,\ 5,\ \ldots,\ (-1)^n(n+1),\ \ldots$$

По модулю члены последовательности неограниченно возрастают:

$$|(-1)^n(n+1)|=n+1\to\infty.$$

Следовательно, последовательность не ограничена.

в) $$\frac{\sin 1}{1},\ -\frac{\sin 2}{2},\ \frac{\sin 3}{3},\ \ldots,\ \frac{(-1)^{\,n-1}\sin n}{n},\ \ldots$$

Так как $$-1\le \sin n\le 1,$$ то

$$-1\le (-1)^{\,n-1}\sin n\le 1.$$

Делим на $$n>0$$:

$$-\frac1n\le \frac{(-1)^{\,n-1}\sin n}{n}\le \frac1n.$$

Следовательно, все члены последовательности лежат между $$-1$$ и $$1$$, значит, она ограничена.

$$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$

г) $$\tg\frac{\pi}{4},\ \tg\frac{3\pi}{4},\ \tg\frac{5\pi}{4},\ \ldots,\ \tg\frac{\pi}{4}(2n-1),\ \ldots$$

Используем периодичность тангенса:

$$\tg\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right)=\tg\frac{\pi}{4}=1,$$

а для углов вида $$\frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4},\ldots$$ значения тангенса равны $$-1$$ или $$1$$. Значит, последовательность ограничена.

$$y_{\min}=-1,\qquad y_{\max}=1.$$