Упр.37.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Является ли ограниченной сверху последовательность: a) xn = ((-1)n + 1)/n; б) 1, -1, 1, -2, 1, -3,…; в) хn = (n2-1)/(n2+2) г)1/2,2/3,3/4,4/5, … ?

Проверим, существует ли число, которое является верхней границей каждой последовательности.

1. $$x_n=\frac{(-1)^n+1}{n}$$

   Если $$n$$ чётное, то $$(-1)^n=1$$, значит

   $$x_n=\frac{2}{n}\le 1.$$

   Если $$n$$ нечётное, то $$(-1)^n=-1$$, значит

   $$x_n=\frac{0}{n}=0.$$

   Следовательно, последовательность ограничена сверху числом $$1$$.

2. $$1;\,-1;\,1;\,-2;\,1;\,-3;\,\ldots$$

   Все члены последовательности не превосходят $$1$$, значит она ограничена сверху числом $$1$$.

3. $$x_n=\frac{n^2-1}{n^2+2}$$

   Так как $$n^2+2>n^2-1$$, то

   $$\frac{n^2-1}{n^2+2}<1.$$

   Значит, последовательность ограничена сверху числом $$1$$.

4. $$\frac12;\,\frac23;\,\frac34;\,\frac45;\,\ldots$$

   Для любого $$n$$ имеем

   $$\frac{n}{n+1}<1.$$

   Следовательно, последовательность ограничена сверху числом $$1$$.

Ответ

а) да; б) да; в) да; г) да.