Упр.37.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Является ли ограниченной снизу последовательность: a) -1, 2, -3, 4, -5, … ; б) yn = n2/(n+1) в) 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, …; г) yn = ((-1)n + 1)n2?

1. а) Последовательность $$-1,\ 2,\ -3,\ 4,\ -5,\ldots$$ не ограничена снизу, так как её члены принимают сколь угодно большие по модулю отрицательные значения.

2. б) $$y_n=\frac{n^2}{n+1}.$$

   При $$n\ge 1$$ все члены последовательности положительны. Кроме того,

   $$y_1=\frac{1^2}{1+1}=\frac12.$$

   Следовательно, последовательность ограничена снизу числом $$\frac12$$.

3. в) Последовательность $$5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ 0,\ -1,\ldots$$ не ограничена снизу, так как убывает без нижней границы.

4. г) $$y_n=\bigl((-1)^n+1\bigr)n^2.$$

   Если $$n$$ чётное, то $$(-1)^n=1$$ и

   $$y_n=(1+1)n^2=2n^2>0.$$

   Если $$n$$ нечётное, то $$(-1)^n=-1$$ и

   $$y_n=(-1+1)n^2=0.$$

   Значит, все члены последовательности неотрицательны, поэтому она ограничена снизу числом $$0$$.

Ответ

а) нет; б) да; в) нет; г) да.