Упр.37.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наибольший член последовательности: a) уn = -2n2 + 11n — 2; б) уn = 3/(2n-5); в) уn = 20 — 12n — 3n2; г) уn = 4/(n+4).
Найдём наибольший член каждой последовательности.
$$y_n=-2n^2+11n-2$$
Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине:
$$n_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-11}{2\cdot(-2)}=\frac{11}{4}$$
Так как $n$ — натуральное число, проверим ближайшие значения: $n=2$ и $n=3$.
$$y_2=-2\cdot 2^2+11\cdot 2-2=12$$
$$y_3=-2\cdot 3^2+11\cdot 3-2=13$$
Наибольший член: $$13$$.
$$y_n=\frac{3}{2n-5}$$
При натуральных $n$ знаменатель положителен и функция убывает, поэтому наибольшее значение достигается при наименьшем натуральном $n$, то есть при $n=1$.
$$y_1=\frac{3}{2\cdot 1-5}=\frac{3}{-3}=-1$$
Но при $n=1$ значение отрицательное, а при $n=2$ знаменатель равен $-1$, тогда
$$y_2=\frac{3}{4-5}=-3$$
Следовательно, наибольшее значение среди натуральных $n$ достигается при $n=1$ и равно $$-1$$.
$$y_n=20-12n-3n^2$$
Это парабола, ветви направлены вниз. Координата вершины:
$$n_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-12)}{2\cdot(-3)}=-2$$
Так как $n$ — натуральное число, наибольшее значение достигается при наименьшем натуральном $n$, то есть при $n=1$.
$$y_1=20-12\cdot 1-3\cdot 1^2=20-12-3=5$$
Наибольший член: $$5$$.
$$y_n=\frac{4}{n+4}$$
При натуральных $n$ знаменатель положителен, а последовательность убывает, значит наибольшее значение достигается при $n=1$.
$$y_1=\frac{4}{1+4}=\frac{4}{5}$$
Наибольший член: $$\frac{4}{5}$$.
Ответ
а) $$13$$; б) $$-1$$; в) $$5$$; г) $$\frac{4}{5}$$.
