Упр.37.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Дана последовательность уn = n2 — 18n. a) Установите, сколько в ней отрицательных членов; б) найдите наименьший член последовательности; в) укажите номер члена последовательности, который равен 19; г) выясните, сколько членов последовательности принадлежит отрезку [-15; 2].

Дана последовательность $$y_n=n^2-18n.$$

1. Найдём отрицательные члены:

   $$n^2-18n<0$$

   $$n(n-18)<0$$

   Так как $$n$$ — натуральное число, то

   $$0<n<18.$$

   Значит, отрицательными являются члены с номерами $$1,2,\dots,17$$. Их всего $$17$$.

2. Найдём наименьший член последовательности. Это парабола, ветви которой направлены вверх, поэтому минимум достигается в вершине:

   $$n_0=\frac{-b}{2a}=\frac{18}{2}=9.$$

   Тогда

   $$y_9=9^2-18\cdot 9=81-162=-81.$$

3. Найдём номер члена, равного $$19$$:

   $$n^2-18n=19$$

   $$n^2-18n-19=0.$$

   $$D=18^2+4\cdot 19=324+76=400.$$

   $$n=\frac{18\pm 20}{2}.$$

   Получаем:

   $$n_1=-1,\quad n_2=19.$$

   Так как номер члена последовательности — натуральное число, подходит $$n=19$$.

4. Определим, сколько членов последовательности принадлежат отрезку $$[-15;2]$$:

   $$-15\le n^2-18n\le 2.$$

   Рассмотрим отдельно:

   $$n^2-18n\ge -15 \;\;\Longleftrightarrow\;\; n^2-18n+15\ge 0,$$

   $$n^2-18n\le 2 \;\;\Longleftrightarrow\;\; n^2-18n-2\le 0.$$

   Из первого неравенства получаем

   $$n\le 9-\sqrt{66}\quad \text{или}\quad n\ge 9+\sqrt{66}.$$

   Из второго неравенства получаем

   $$9-\sqrt{83}\le n\le 9+\sqrt{83}.$$

   С учётом натуральности $$n$$ и пересечения условий получаем только

   $$n=18.$$

Ответ

а) $$17$$; б) $$-81$$; в) $$19$$; г) $$1$$.