Упр.37.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите число положительных членов последовательности: a) уn = 4n — n2; б) уn = (140 — n2)/(6n-11); в) уn = -n2 + 9n — 14; г) уn = 123/(147-5n).

Подробный ответ

$$y_n=4n-n^2$$
Найдём, при каких значениях $$n$$ члены последовательности положительны:
$$4n-n^2>0$$
$$n(4-n)>0$$
Отсюда $$0<n<4$$. Для натуральных $$n$$ получаем $$n=1,2,3$$.
Положительных членов 3.
$$y_n=\frac{140-n^2}{6n-11}$$
Решим неравенство:
$$\frac{140-n^2}{6n-11}>0$$
Числитель обращается в нуль при $$n=\pm\sqrt{140}$$, знаменатель — при $$n=\frac{11}{6}$$.
Для натуральных $$n$$:
$$140-n^2>0 \quad \Rightarrow \quad n<\sqrt{140}$$
$$6n-11>0 \quad \Rightarrow \quad n>\frac{11}{6}$$
Значит, нужно взять натуральные $$n$$ из промежутка $$\left(\frac{11}{6},\sqrt{140}\right)$$, то есть
$$n=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11$$
Положительных членов 10.
$$y_n=-n^2+9n-14$$
Найдём, при каких $$n$$:
$$-n^2+9n-14>0$$
$$n^2-9n+14<0$$
$$ (n-2)(n-7)<0 $$
Отсюда $$2<n<7$$, значит $$n=3,4,5,6$$.
Положительных членов 4.
$$y_n=\frac{123}{147-5n}$$
Так как числитель положителен, нужно, чтобы знаменатель был положительным:
$$147-5n>0$$
$$n<\frac{147}{5}=29{,}4$$
Для натуральных $$n$$ получаем $$n=1,2,\dots,29$$.
Положительных членов 29.