Упр.37.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сколько членов последовательности не превосходят 1: a) 1/3125,1/625,1/125,…; б) 6/377,11/379,16/381,…; в) 2/129,2/243,2/81,…; г) 2/219,9/222,16/225,… .

Подробный ответ

а) Последовательность геометрическая: $$\frac{1}{3125},\frac{1}{625},\frac{1}{125},\dots$$
$$b_1=\frac{1}{3125},\quad q=\frac{1/625}{1/3125}=5.$$
Тогда
$$b_n=\frac{1}{3125}\cdot 5^{n-1}=\frac{5^{n-1}}{5^5}=5^{n-6}.$$
Найдём наибольший номер $n$, при котором $$b_n\le 1.$$
$$5^{n-6}\le 1 \Rightarrow n-6\le 0 \Rightarrow n\le 6.$$
Значит, наибольший номер — $$6.$$
б) Последовательность:
$$\frac{6}{377},\frac{11}{379},\frac{16}{381},\dots$$
Числители образуют арифметическую прогрессию с разностью $5$, знаменатели — с разностью $2$.
Поэтому
$$a_n=\frac{5n+1}{2n+375}.$$
Ищем наибольший номер $n$, при котором $$a_n\le 1.$$
$$\frac{5n+1}{2n+375}\le 1$$
$$5n+1\le 2n+375$$
$$3n\le 374$$
$$n\le 124\frac{2}{3}.$$
Следовательно, наибольший номер — $$124.$$
в) Последовательность геометрическая: $$\frac{2}{729},\frac{2}{243},\frac{2}{81},\dots$$
$$b_1=\frac{2}{729},\quad q=\frac{2/243}{2/729}=3.$$
Тогда
$$b_n=\frac{2}{729}\cdot 3^{n-1}=\frac{2\cdot 3^{n-1}}{3^6}.$$
Найдём наибольший номер $n$, при котором $$b_n\le 1.$$
$$\frac{2\cdot 3^{n-1}}{3^6}\le 1$$
$$2\cdot 3^{n-1}\le 3^6.$$
Так как $2<3$, то достаточно, чтобы $$3^{n-1}\le 3^5,$$ откуда
$$n\le 6.$$
Значит, наибольший номер — $$6.$$
г) Последовательность:
$$\frac{2}{219},\frac{9}{222},\frac{16}{225},\dots$$
Здесь
$$a_n=\frac{7n-5}{3n+216}.$$
Ищем наибольший номер $n$, при котором $$a_n\le 1.$$
$$\frac{7n-5}{3n+216}\le 1$$
$$7n-5\le 3n+216$$
$$4n\le 221$$
$$n\le 55\frac{1}{4}.$$
Следовательно, наибольший номер — $$55.$$