Упр.37.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сколько членов последовательности уn = 2n2 — 7n + 5 принадлежит: a) отрезку [2; 5]; б) промежутку (-оо; 10)?

Дана последовательность $$y_n=2n^2-7n+5.$$

а) Найдём, при каких целых $$n$$ члены последовательности принадлежат отрезку $$[2;5]$$.

Решим неравенства:

$$2\le 2n^2-7n+5\le 5.$$

Сначала:

$$2n^2-7n+5\ge 2,$$
$$2n^2-7n+3\ge 0,$$
$$D=49-24=25,$$
$$n_{1,2}=\frac{7\pm 5}{4},\quad n_1=\frac12,\; n_2=3.$$

Тогда

$$(n-\tfrac12)(n-3)\ge 0,$$
$$n\le \tfrac12 \text{ или } n\ge 3.$$

Теперь:

$$2n^2-7n+5\le 5,$$
$$2n^2-7n\le 0,$$
$$n(2n-7)\le 0,$$
$$0\le n\le \tfrac72.$$

Пересечение условий:

$$n\ge 3 \text{ и } n\le \tfrac72.$$

Целое значение здесь только одно: $$n=3.$$

Значит, на отрезке $$[2;5]$$ находится 1 член последовательности.

б) Найдём, сколько членов последовательности принадлежат промежутку $$(-\infty;10).$$

Решим неравенство:

$$2n^2-7n+5<10,$$
$$2n^2-7n-5<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=49+40=89,$$
$$n_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{89}}{4}.$$

Приближённо:

$$n_1\approx -0{,}6,\quad n_2\approx 4{,}1.$$

Тогда

$$-0{,}6<n<4{,}1.$$

Целые значения $$n$$: $$1,2,3,4.$$ Их четыре.

Ответ

а) 1; б) 4.