Упр.37.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Квадрат со стороной 1 см вписан во второй квадрат таким образом, что вершины первого квадрата являются серединами сторон второго. Второй квадрат, аналогично, вписан в третий квадрат и т. д. Получается последовательность вписанных друг в друга квадратов. a) Составьте последовательность периметров полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности . б) Составьте последовательность площадей полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности. в) Чему равна длина стороны одиннадцатого квадрата? г) Чему равна площадь семнадцатого квадрата?

Подробный ответ

Пусть сторона первого квадрата равна $$1$$ см. Тогда при таком вписывании сторона каждого следующего квадрата равна диагонали предыдущего, то есть увеличивается в $$\sqrt{2}$$ раза.

Значит, последовательность сторон — геометрическая прогрессия с первым членом $$1$$ и знаменателем $$\sqrt{2}$$:

$$a_n=1\cdot(\sqrt{2})^{n-1}=(\sqrt{2})^{n-1}.$$

а) Периметр квадрата равен $$4a$$, поэтому последовательность периметров тоже является геометрической прогрессией:

$$P_1=4\cdot1=4,\qquad q=\sqrt{2}.$$

Тогда

$$P_n=4(\sqrt{2})^{n-1}.$$

Первые пять членов:

$$4;\ 4\sqrt{2};\ 8;\ 8\sqrt{2};\ 16.$$

б) Площадь квадрата равна квадрату его стороны, значит

$$S_1=1^2=1,\qquad q=2.$$

Следовательно,

$$S_n=2^{n-1}.$$