Упр.37.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 3/4,9/16,27/64,81/256,243/1024,…; б) 1/корень2,3/2,5/2корень2,7/4,9/4корень2,…; в) 1/корень(1*2),-4/корень(2*3),9/корень(3*4),-16/корень(4*5),25/корень(5*6),…; г) 4/(1*2*3),-9/(2*3*4),14/(3*4*5),-19/(4*5*6),24/(5*6*7),… .
а) Числители: $$3, 9, 27, 81, 243,\dots = 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5,\dots$$
Знаменатели: $$4, 16, 64, 256, 1024,\dots = 2^2, 2^4, 2^6, 2^8, 2^{10},\dots$$
Следовательно,
$$a_n=\frac{3^n}{2^{2n}}.$$
б) Числители: $$1, 3, 5, 7, 9,\dots = 2n-1.$$
Знаменатели: $$\sqrt2, 2, 2\sqrt2, 4, 4\sqrt2,\dots = (\sqrt2)^n.$$
Тогда
$$a_n=\frac{2n-1}{(\sqrt2)^n}.$$
в) Знаки чередуются, а числители и знаменатели имеют вид
$$1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2,\dots$$
$$\sqrt{1\cdot2},\ \sqrt{2\cdot3},\ \sqrt{3\cdot4},\ \sqrt{4\cdot5},\ \sqrt{5\cdot6},\dots$$
Поэтому
$$a_n=\frac{(-1)^{n+1}n^2}{\sqrt{n(n+1)}}.$$
г) Числители: $$4, 9, 14, 19, 24,\dots$$ — арифметическая прогрессия с разностью $$5$$, значит
$$4=5\cdot1-1,\quad 9=5\cdot2-1,\quad 14=5\cdot3-1,\dots$$
то есть числитель равен $$5n-1$$.
Знаменатели: $$1\cdot2\cdot3,\ 2\cdot3\cdot4,\ 3\cdot4\cdot5,\dots = n(n+1)(n+2).$$
Знаки чередуются, значит
$$a_n=\frac{(-1)^{n+1}(5n-1)}{n(n+1)(n+2)}.$$
Ответ
а) $$a_n=\frac{3^n}{2^{2n}}$$; б) $$a_n=\frac{2n-1}{(\sqrt2)^n}$$; в) $$a_n=\frac{(-1)^{n+1}n^2}{\sqrt{n(n+1)}}$$; г) $$a_n=\frac{(-1)^{n+1}(5n-1)}{n(n+1)(n+2)}$$.
