Упр.37.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 1,1/2,1/4,1/8,1/16,…; б) 3/4,5/6,7/8,9/10,11/12,…; в) 1,1/8,1/27,1/64,1/125,…; г) 1/(3*5),1/(5*7),1/(7*9),1/(9*11),1/(11*13),… .

1. $$1;\ \frac12;\ \frac14;\ \frac18;\ \frac1{16};\ldots$$

   Знаменатели — степени числа $$2$$: $$2^0,\ 2^1,\ 2^2,\ 2^3,\ 2^4,\ldots$$

   Следовательно, общий член последовательности:

   $$a_n=\frac1{2^{\,n-1}}$$

2. $$\frac34;\ \frac56;\ \frac78;\ \frac9{10};\ \frac{11}{12};\ldots$$

   Числители: $$3,5,7,9,11,\ldots$$, то есть $$2n+1$$.

   Знаменатели: $$4,6,8,10,12,\ldots$$, то есть $$2n+2$$.

   Тогда

   $$a_n=\frac{2n+1}{2n+2}$$

3. $$1;\ \frac18;\ \frac1{27};\ \frac1{64};\ \frac1{125};\ldots$$

   Это обратные кубы натуральных чисел:

   $$1=\frac1{1^3},\ \frac18=\frac1{2^3},\ \frac1{27}=\frac1{3^3},\ldots$$

   Значит,

   $$a_n=\frac1{n^3}$$

4. $$\frac1{3\cdot5};\ \frac1{5\cdot7};\ \frac1{7\cdot9};\ \frac1{9\cdot11};\ \frac1{11\cdot13};\ldots$$

   В первом множителе стоят нечётные числа $$3,5,7,9,11,\ldots$$, то есть $$2n+1$$.

   Во втором множителе: $$5,7,9,11,13,\ldots$$, то есть $$2n+3$$.

   Следовательно,

   $$a_n=\frac1{(2n+1)(2n+3)}$$

Ответ

$$a_n=\frac1{2^{\,n-1}},\quad a_n=\frac{2n+1}{2n+2},\quad a_n=\frac1{n^3},\quad a_n=\frac1{(2n+1)(2n+3)}$$