Упр.37.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Задайте формулой n-го члена и рекуррентным способом: a) возрастающую последовательность всех четных натуральных чисел, не делящихся на 4; б) возрастающую последовательность всех натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 5; в) возрастающую последовательность всех натуральных чисел, делящихся на 3 и на 7 (одновременно); г) возрастающую последовательность всех четных натуральных чисел, делящихся на 3 и на 5 (одновременно).

1. а) Чётные натуральные числа, не делящиеся на 4, имеют вид $$2,6,10,14,\dots$$

   Это арифметическая прогрессия с первым членом $$a_1=2$$ и разностью $$d=4$$.

   Тогда

   $$a_n=a_1+d(n-1)=2+4(n-1)=4n-2.$$

   Рекуррентно:

   $$a_1=2,\quad a_n=a_{n-1}+4.$$

2. б) Числа, дающие при делении на 13 остаток 5, имеют вид $$18,31,44,57,\dots$$

   Это арифметическая прогрессия с $$a_1=18$$ и $$d=13$$.

   Следовательно,

   $$a_n=18+13(n-1)=13n+5.$$

   Рекуррентно:

   $$a_1=18,\quad a_n=a_{n-1}+13.$$

3. в) Числа, делящиеся одновременно на 3 и на 7, делятся на $$\operatorname{lcm}(3,7)=21$$:

   $$21,42,63,84,\dots$$

   Значит,

   $$a_1=21,\quad d=21,$$

   и

   $$a_n=21+21(n-1)=21n.$$

   Рекуррентно:

   $$a_1=21,\quad a_n=a_{n-1}+21.$$

4. г) Чётные числа, делящиеся одновременно на 3 и на 5, делятся на $$\operatorname{lcm}(2,3,5)=30$$:

   $$30,60,90,120,\dots$$

   Тогда

   $$a_1=30,\quad d=30,$$

   и

   $$a_n=30+30(n-1)=30n.$$

   Рекуррентно:

   $$a_1=30,\quad a_n=a_{n-1}+30.$$

Ответ

а) $$a_n=4n-2,\quad a_1=2,\quad a_n=a_{n-1}+4$$;
б) $$a_n=13n+5,\quad a_1=18,\quad a_n=a_{n-1}+13$$;
в) $$a_n=21n,\quad a_1=21,\quad a_n=a_{n-1}+21$$;
г) $$a_n=30n,\quad a_1=30,\quad a_n=a_{n-1}+30$$.