Упр.37.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Выпишите первые шесть членов последовательности (хn), у которой х1 = 5, х2 = -3 и каждый член, начиная с третьего, равен полусумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности; б) Выпишите первые шесть членов последовательности (уn), у которой у1 = -1, у2 = 1 и каждый член, начиная с третьего, равен утроенной сумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности.

Подробный ответ

а) По условию $$x_1=5,$$ $$x_2=-3,$$ а каждый следующий член равен полусумме двух предыдущих:

$$x_n=\frac{x_{n-2}+x_{n-1}}{2}, \quad n>2.$$

Найдём первые шесть членов:

$$x_3=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{5+(-3)}{2}=\frac{2}{2}=1,$$
$$x_4=\frac{x_2+x_3}{2}=\frac{-3+1}{2}=\frac{-2}{2}=-1,$$
$$x_5=\frac{x_3+x_4}{2}=\frac{1+(-1)}{2}=\frac{0}{2}=0,$$
$$x_6=\frac{x_4+x_5}{2}=\frac{-1+0}{2}=-\frac{1}{2}=-0{,}5.$$

Итак, первые шесть членов последовательности:

$$5;\ -3;\ 1;\ -1;\ 0;\ -0{,}5.$$

б) По условию $$y_1=-1,$$ $$y_2=1,$$ а каждый следующий член равен утроенной сумме двух предыдущих:

$$y_n=3(y_{n-2}+y_{n-1}), \quad n>2.$$

Найдём первые шесть членов:

$$y_3=3(y_1+y_2)=3(-1+1)=3\cdot 0=0,$$
$$y_4=3(y_2+y_3)=3(1+0)=3,$$
$$y_5=3(y_3+y_4)=3(0+3)=9,$$
$$y_6=3(y_4+y_5)=3(3+9)=36.$$

Итак, первые шесть членов последовательности:

$$-1;\ 1;\ 0;\ 3;\ 9;\ 36.$$