Упр.36.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (1 + корень3 i)3; б) (1 + корень3 i)5; в) (корень3 + i)7; г) (корень3 — i)9.

Подробный ответ

$$z=(1+\sqrt{3}i)^3$$
Найдём модуль и аргумент числа $$1+\sqrt{3}i$$:
$$|1+\sqrt{3}i|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}=2,$$
$$\cos \varphi=\frac{1}{2}, \quad \sin \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \varphi=\frac{\pi}{3}.$$
Тогда
$$1+\sqrt{3}i=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right).$$
Возводим в третью степень:
$$ z=2^3\left(\cos \pi+i\sin \pi\right)=8(-1+0i)=-8. $$
$$z=(1+\sqrt{3}i)^5$$
Так как
$$1+\sqrt{3}i=2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}\right),$$
то
$$ z=2^5\left(\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}\right). $$
Значит,
$$ z=32\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=16(1-\sqrt{3}i). $$
$$z=(\sqrt{3}+i)^7$$
Найдём модуль и аргумент числа $$\sqrt{3}+i$$:
$$|\sqrt{3}+i|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=2,$$
$$\cos \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi=\frac{1}{2}, \quad \varphi=\frac{\pi}{6}.$$
Тогда
$$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right).$$
Возводим в седьмую степень:
$$ z=2^7\left(\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6}\right). $$
Так как
$$\cos \frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2},$$
получаем
$$ z=128\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=-64(\sqrt{3}+i). $$
$$z=(\sqrt{3}-i)^9$$
Найдём модуль и аргумент числа $$\sqrt{3}-i$$:
$$|\sqrt{3}-i|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{4}=2,$$
$$\cos \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi=-\frac{1}{2}, \quad \varphi=-\frac{\pi}{6}.$$
Тогда
$$\sqrt{3}-i=2\left(\cos \frac{\pi}{6}-i\sin \frac{\pi}{6}\right).$$
Возводим в девятую степень:
$$ z=2^9\left(\cos \frac{9\pi}{6}-i\sin \frac{9\pi}{6}\right) =512\left(\cos \frac{3\pi}{2}-i\sin \frac{3\pi}{2}\right). $$
Так как
$$\cos \frac{3\pi}{2}=0, \quad \sin \frac{3\pi}{2}=-1,$$
то
$$z=512i.$$